(miércoles 20 de noviembre de 2019)

    Llegó a primera hora, con las luces aún frías del amanecer. Ocupó un lugar privilegiado en la orilla, adelantándose al encargado de las hamacas y antes de que los bañistas atestaran la playa con sombrillas y toallas. Estaba completamente desnuda y tan sólo adornaban sus tobillos dos pulseras de carey. Tendida sobre la arena era increíblemente hermosa. El agua llegaba mansa hasta su cuerpo, perfilaba su contorno con la dulzura de un enamorado y se alejaba una y otra vez, recubriendo de humedad la silueta seca, salando cada pliegue. Su piel era de aceite oscuro, lastimada con algunos cortes por las aristas del acantilado, y su pelo aún más nocturno, con pequeños mejillones incrustados entre los rizos. Una pompa de aire reventó en el interior de su boca exhalando el aliento retenido, su último suspiro de ahogada.

    Pero ya entonces la playa había enmudecido en un silencio de funeral. Los rayos tibios del sol apenas conseguían figurar un paisaje en blanco y negro, una pincelada en sepia como en las fotografías antiguas, aquellas en las que posan los muertos su última estampa. El mar entregaba a la costa lo que no le pertenecía, al fin carnaza para las ávidas gaviotas, para las algas, para las pinzas minuciosas de las nécoras. Era la primera vez en toda su vida que estaba en una playa. Se llamaba Aisha, era marroquí y tenía veinte años.

Autor: Iñaki Túrnez. Ha recibido, entre otros, los siguientes premios:

Año 2011. Primer puesto en el XVIII Premio Nacional de narrativa organizado por la Asociación de Periodistas de Ávila.

Año 2012. Primer premio en el XI Concurso de Relatos Hiperbreves de la Universidad Popular de Palencia.

Año 2012. Primer puesto en el XVI Premio de Novela Corta “Salvador García Aguilar”, con la novela  “La chica de los juegos malabares”.

Año 2015. Primer puesto en el IX Premio de Novela Corta “Encina de Plata”, con la novela “Piel de mail”.

Año 2017. Primer premio del VIII Concurso contra el Racismo: La ciudad de las mil culturas, organizado por SOS Racismo Madrid.

Año 2018. Primer premio del Certamen de Relatos organizado por la Asociación “Ongi etorri errefuxiatuak” de Arrigorriaga.

Año 2019. Primer premio en el VIII Certamen Internacional de Novela Corta Giralda, organizado por la Asociación Cultural Itimad, de Sevilla, con la novela “No es tiempo de claudicar”.

 

(viernes 8 de noviembre de 2019)

 Introducción.

 La música se nutre de los sonidos, los cuales pueden producirse de manera diferente ya sea por medio “natural” de la voz humana o bien usando elementos “artificiales” que llamamos instrumentos. Podríamos decir que golpear una cuerda con un martillo o el canto de un ave no son por sí solos fenómenos musicales, pero podrían convertirse en música si el estado anímico del oyente así lo decide.

Figura 1. Monocordio.

Las ondas armónicas.

Si el extremo de una cuerda lo desplazamos hacia arriba y abajo, se produce una onda sinusoidal que se propaga por la cuerda y que se denomina onda armónica. (Figura 2). Existe una relación sencilla entre la frecuencia f , la longitud de onda λ (distancia entre dos máximos) y la velocidad v de la onda.

Figura 2. Onda armónica en un cierto instante de tiempo. A es la amplitud y λ, la longitud de onda.

 

Dado que durante un período

                                         $T=\frac{1}{f}$

 

la onda se mueve una distancia igual a una longitud de onda λ, tenemos que

                                        $v=\frac{\lambda }{T}=f\lambda \left(1\right)$

La frecuencia del sonido producido por una cuerda es función de su longitud L, así como de las características de dicha cuerda, tales como la tensión a la que está sometida y la masa por unidad de longitud. Esas características determinan la velocidad de propagación de la onda en la cuerda. Este hecho fue demostrado por Euler (1707-1783) y D´Alambert (1717-1783), quienes establecieron la teoría matemática que rige la vibración de las cuerdas. Así la velocidad de propagación depende únicamente de la tensión F a la que está sometida y de la masa por unidad de longitud μ a través de la expresión:

                                         $v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$

Sustituyendo en (1) tenemos que

                                         $f\lambda =\sqrt{\frac{F}{\mu }}$ de donde $F=\frac{1}{\lambda }\sqrt{\frac{F}{\mu }} \left(2\right)$

La masa por unidad de longitud μ=M/L es igual a la densidad de la cuerda por la sección de la misma

                                           $\mu =\pi r^{2}d$

y sustituyendo esta expresión en (2) podemos expresar la frecuencia como

                                           $f=\frac{1}{\lambda }\sqrt{\frac{F}{\pi r^{2}d}} \left(3\right)$

Vibración de una cuerda fija por ambos extremos: frecuencia del sonido producido.

Cuando tenemos una cuerda fija por los dos extremos y se realiza un pequeño desplazamiento en dirección perpendicular a ella, como por ejemplo en el monocordio o al presionar una cuerda de un piano con los macillos, esto generará que se produzcan reflexiones en ambos extremos, es decir, existen ondas moviéndose en los dos sentidos que se combinan. Para una cuerda dada existen ciertas frecuencias para los cuales la superposición de las ondas producidas da un esquema vibratorio estacionario que denominamos onda estacionaria.

Las frecuencias que producen estos esquemas se denominan frecuencias de resonancia, siendo la más baja la frecuencia fundamental, definida por dos nodos (puntos en reposo) en los extremos y un vientre (punto de amplitud de vibración máxima) en el centro. Las siguientes frecuencias de resonancia pueden observarse en la Figura 3. Podemos encontrar una relación entre la longitud de la cuerda L y la longitud de onda λ en función del armónico.

                                                                   

Figura 3. Las 5 primeras frecuencias de resonancia en una cuerda fija por ambos extremos. Los puntos marcados con A son vientres y los señalados con N son nodos.

Si llamamos n al número de armónico y λ_n a las longitudes de onda producidas en los armónicos 1, 2, 3,….n tenemos que:

                                                                          $n=1\to L=\frac{{\lambda }_1}{2}$

                                                                          $n=2\to L=\frac{2{\lambda }_2}{2}={\lambda }_2$

                                                                          $n=3\to L=\frac{3{\lambda }_3}{2}$

Para el armónico n podemos deducir entonces que

                                                                      $L=\frac{n{\lambda }_n}{2} \left(4\right)$

Ahora podemos hallar la expresión de la frecuencia de resonancia de una onda estacionaria, recordando que habíamos visto en el apartado anterior que para una cuerda con longitud de onda λ

                                                                       $f=\frac{1}{\lambda }\sqrt{\frac{F}{\pi r^{2}d}}$

Dado que la frecuencia y la longitud de onda depende del armónico n, podemos escribir la expresión de las frecuencias de resonancia como

                                                             $f_n=\frac{1}{{\lambda }_n}\sqrt{\frac{F}{\pi r^{2}d}} con n=1, 2, 3, ... \left(5\right)$

Si despejamos λ_n en la expresión (4) tenemos que

                                                               ${\lambda }_n=\frac{2L}{n}$

por lo que sustituyendo en (5) nos queda

                                                  $f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{F}{\pi r^{2}d}} con n=1, 2, 3, ... \left(6\right)$

De esta fórmula se deducen las Leyes de Mersenne o leyes que rigen la vibración de las cuerdas fijas por dos extremos como las del monocordio o el piano de la Figura 4.

                                                    

Figura 4. Piano de cola clásico, fabricado por Steinway. Las cuerdas vibran al ser golpeadas por los macillos. Las cuerdas más largas vibran con frecuencias menores que las más cortas. En el sistema temperado (ver siguiente sección) las frecuencias del piano van desde 27.50 Hz de la más grave, correspondiente al La₀, hasta 4186.01 Hz de la más aguda, correspondiente a la nota Do₈.

                                                                           

Figura 5. Marin Mersenne (Oizé, 8 de septiembre de 1588 - París, 1 de septiembre de 1648) fue sacerdote y filósofo francés que estudió diversos campos de la teología, las matemáticas y la música.

 

El sistema temperado: en busca del valor del semitono.

El llamado Temperamento Igual usado normalmente en los pianos actuales fue sistematizado sobre otros métodos de afinación en 1482 por Bartolomé Ramos de Pareja, teórico musical español que enseñó música en la Universidad de Salamanca. El sistema tardó en imponerse debido a la dificultad de establecerlo, pero fue consagrado por Johann Sebastian Bach (1685-1750) en su obra El Clave Bien Temperado (1722), obra que contiene todas las tonalidades mayores y menores.

El sistema se basa en dividir la sucesión de una octava en 12 partes iguales o semitonos de manera que se produzca enarmonía. (Es decir que un Do# sonará igual que un Reb) y respete la consonancia de la octava. (Figura 6)

                                   

Figura 6. Escala cromática a dos voces con algunas enarmonías (ejemplo La#=Sib). Entre el primer La4 y el siguiente La5 tenemos 12 semitonos.

Si la primera nota se corresponde con el La₄ de f₄= 440Hz del piano, el correspondiente a la siguiente octava La₅ tendrá el doble de frecuencia, es decir f₅= 2f₄= 880Hz. Es de observar que para el siguiente La₆ la frecuencia será el doble del La₅, es decir, 1760 Hz. En Matemáticas este tipo de series no lineales, sino con una proporción constante (en este caso de 2), se llaman progresiones geométricas.

                    

Observamos que

                                                                                 $f_n=2^{n-4} f_4, n\in N$ (7)

Usando esta fórmula podremos calcular, por ejemplo, la frecuencia del La0 que corresponde con la nota más grave del piano. Así,

                                                             $L{a}_0\to n=0$ $f_0=2^{0-4} f_4=2^{-4} f_4=\frac{1}{16} 440 Hz=27.5 Hz$

Busquemos ahora el valor del semitono, que denotaremos por la letra r. Si nos fijamos en la Figura 5 entre el La4 y el La5 (y lo mismo ocurre para cualquier otra octava) tenemos 12 semitonos.

Si numeramos la sucesión empezando con el primer término

                                                                        $a_1=L{a}_4=440 HZ$

entonces el último término será

                                                                       $a_{13}=L{a}_5=880 HZ$

y, para hallar las frecuencias de las notas intermedias, tendremos que multiplicar por el valor del semitono r. Así:

                                                                       $a_1=L{a}_4$

                                                                       $a_2=La\#=a_1 r=L{a}_4 r$

                                                                       $a_3=Si=a_2 r=L{a}_4 r^2$

                                                                        ...........................

                                                                       $a_{13}=L{a}_5=a_1 r^{13-1}=L{a}_4 r^{12}$   (8)

Usando ahora la expresión general de una progresión geométrica

                                                                        $a_n=a_1 r^{n-1}$

siendo r la razón de la progresión, en nuestro caso el valor buscado del semitono temperado, encontramos, sustituyendo los valores de las frecuencias en la expresión (8)

                                                        $880 Hz=L{a}_5=a_{13}=L{a}_4 r^{12}=440 Hz r^{12}$

de donde

                      $r^{12}=\frac{880 Hz}{440 Hz}=2$

y, por tanto, el valor del semitono es igual a

                                                                           $r=\sqrt[12]{2}\simeq 1.059463$              (9)

Este procedimiento fue llevado a cabo por el físico alemán Erns Florenz Friedrich Chladni (Wittenberg, 1756- Breslavia 1827).

Conocido este valor podemos hallar fácilmente el tono “sumando” dos semitonos.

El valor del tono t será igual a dos semitonos, es decir

                                                                      $t=r^2={\left(\sqrt[12]{2}\right)}^2=\sqrt[6]{2}\simeq 1.122462$

Con este resultado podemos finalizar comprobando que la nota más aguda del piano, correspondiente al Do8, es de 4186,01Hz, tal como se indica en la Figura 4. Para ello, usamos la fórmula (7) y calculamos la frecuencia del La más próximo, es decir, La7:

                                                                    $L{a}_7\to f_7=2^3 f_4=2^3 440 Hz= 3520 Hz$

Ahora se puede observar que para pasar de La7 a Do8 tenemos un intervalo de tercera menor, con un tono y un semitono. Por tanto, usando los resultados anteriores, tendremos que:

$D{o}_8=t·r·L{a}_7={\left(\sqrt[12]{2}\right)}^2·\sqrt[12]{2}·L{a}_7={\left(\sqrt[12]{2}\right)}^3·L{a}_7=\sqrt[4]{2}·3520 Hz\simeq 4186.01 Hz$

De este modo queda comprobado el valor dado al pie de la Figura 4 y podemos hallar la frecuencia de cualquier nota del piano conocida la frecuencia del La4 = 440 Hz. Esto se conoce como operaciones con intervalos.

 

Conclusiones:

• Desde la antigüedad es conocida la relación de la Música con las Matemáticas.
• La frecuencia del sonido producido por una cuerda depende de las características físicas de ésta: su longitud L, la tensión a la que está sometida, y su masa por unidad de longitud.
• Las Leyes de Mersenne rigen la vibración de las cuerdas fijas por dos extremos como las del monocordio o el piano clásico. Se deducen a partir del estudio físico de las frecuencias de resonancia de las ondas estacionarias.
• El temperamento igual tardó en instaurarse pero Johann Sebastian Bach lo consagra en su obra El clave bien temperado donde se exponen obras en las diferentes tonalidades.
• En el temperamento igual la escala cromática es una progresión geométrica de razón $\sqrt[12]{2}$, de forma que para pasar de un semitono a otro hay que multiplicar el valor de la frecuencia de esa nota por este valor.
• Hemos realizado operaciones con intervalos, basándonos en el resultado anterior, para demostrar que las notas de un piano clásico abarcan desde el La0 de 27,50 Hz hasta el Do8 de 4186,01 Hz.

 Referencias bibliográficas.

Autor: Miguel Gras Gigosos, profesor de Matemáticas del I.E.S. Jorge Manrique. Además tiene el Título Profesional de Música por la especialidad de piano.

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(martes 21 de mayo de 2019)

En estas fechas los españoles estamos eligiendo a nuestros representantes en diversos ámbitos: Congreso de los Diputados, Senado, Cámaras Autonómicas, Diputaciones Forales, Ayuntamientos y Parlamento Europeo. Con la excepción del Senado, todas estas elecciones se resuelven con criterios proporcionales.

Respecto al Congreso de los Diputados, la Constitución de 1978 hace dos referencias a la proporcionalidad en su artículo 68 [Enlace: http://www.congreso.es/consti/constitucion/indice/titulos/articulos.jsp?ini=66&fin=80&tipo=2]:

Artículo 68. 2. La circunscripción electoral es la provincia. Las poblaciones de Ceuta y Melilla estarán representadas cada una de ellas por un Diputado. La ley distribuirá el número total de Diputados, asignando una representación mínima inicial a cada circunscripción y distribuyendo los demás en proporción a la población.

Artículo 68. 3. La elección se verificará en cada circunscripción atendiendo a criterios de representación proporcional.

 

¿Qué es un reparto proporcional?

Es el que atribuye a cada partido una cantidad de escaños que se calcula mediante una regla de tres a partir de los votos que recibe, los votos totales emitidos y los escaños a repartir. Es decir:

El número de escaños que corresponden a un partido por esta regla se llama la cuota del partido.

Por ejemplo, en las elecciones de junio de 2016, el PP obtuvo en la circunscripción de Madrid 1.325.665 votos de un total de 3.447.658 que lograron el conjunto de los partidos que se presentaban. Como se repartían 36 escaños su cuota fue

De manera análoga, podemos considerar el reparto entre las provincias de los 248 escaños del Congreso (los diputados son 350 pero, atendiendo a que la Constitución prescribe "una representación mínima inicial a cada circunscripción", se asignan a priori 2 a cada provincia, además de uno a Ceuta y otro a Melilla).

 

Diputados "troceados".

Para las elecciones generales del 28 de abril de 2019, dado que según el último censo la población total de España, excluidas Ceuta y Melilla, son 46.563.458 personas, de las que 257.049 viven en la provincia de Guadalajara, a esa circunscripción le corresponderían, además de los dos iniciales,

Y aquí surge el problema. ¿Cómo va a haber 13,84 diputados del PP en Madrid o 3,37 diputados que representen a Guadalajara en el Congreso? ¿Hay algún diputado dispuesto a ser troceado?

Es por tanto necesario establecer un procedimiento que asigne, de manera razonablemente proporcional, diputados "enteros" a las provincias y a los partidos. En el caso del Congreso de los Diputados el procedimiento, o más bien procedimientos, lo determina la Ley Orgánica del Régimen Electoral General en sus artículos 162 y 163. [Enlace: http://noticias.juridicas.com/base_datos/Admin/lo5-1985.t2.html#a162]

 

El método D'Hondt.

Para la asignación de escaños a los partidos (artículo 163), se utiliza el método D'Hondt, llamado así por su proponente en Europa, el jurista y matemático belga Victor D'Hondt (1841-1901) [Enlace: https://es.wikipedia.org/wiki/Victor_D'Hondt]. En Estados Unidos se conoce como método Jefferson, ya que Thomas Jefferson [Enlace: https://es.wikipedia.org/wiki/Thomas_Jefferson] propuso un procedimiento equivalente.

Recordemos cómo funciona a la vez que damos como ejemplo los resultados electorales de las elecciones al Congreso en la provincia de Badajoz en 1989. Se repartían 6 escaños y los votos que recibieron los diferentes partidos fueron, junto a sus correspondientes cuotas,

NOTA: CDS son las siglas del ya desaparecido Centro Democrático y Social [Enlace https://es.wikipedia.org/wiki/Centro_Democr%C3%A1tico_y_Social]

El método D'Hondt nos dice que debemos dividir los votos de cada partido sucesivamente entre 1, 2, 3,… (por eso se llama también método de los divisores naturales) y asignar los escaños a los partidos que obtengan los mayores cocientes. En nuestro ejemplo (ignorando los partidos pequeños y los decimales)

Los 6 cocientes mayores son los marcados en rojo, de modo que el PSOE obtuvo 4 escaños y el PP 2.

 

El método de los restos mayores.

En el caso del reparto de diputados entre provincias, la Ley Electoral prescribe que se siga otro procedimiento: el conocido, entre otros nombres, como método de los restos mayores (pronto veremos por qué).

Para poder comparar con D'Hondt, y porque 50 provincias son muchas para presentar aquí la tabla de reparto (para las elecciones de abril de 2019 puede consultarse en el anexo del Real Decreto por el que se convocan [Enlace https://www.boe.es/eli/es/rd/2019/03/04/129]), vamos a describir el método de los restos mayores usando de nuevo el ejemplo de la asignación de escaños a partidos en Badajoz en 1989.

Se empieza por calcular las cuotas y se asignan los escaños enteros que hayan resultado:

En nuestro ejemplo, quedan distribuidos así 4 escaños, 3 para el PSOE y 1 para el PP, y nos faltan por asignar 2. Para decidir quién se los lleva, miramos ahora las partes decimales (los "restos" del nombre del método), y damos escaños a quienes los tengan mayores:

El reparto definitivo resulta por tanto ser 3 escaños para el PSOE, 1 para el PP, 1 para el CDS y 1 para IU, muy distinto de los 4 para el PSOE, 2 para el PP y ningún escaño para CDS e IU que nos dio el método D'Hondt.

 

¿Qué procedimiento es más justo?

Es difícil decirlo. ¿Es justo que, como sucede con los restos mayores, el PP e IU obtengan los mismos diputados, a pesar de que el primero cuente con casi el triple de votos que el segundo? ¿Es justo, como sucede al usar D'Hondt, que el resto 0,33 del PSOE se transforme en un cuarto diputado, mientras el 0,61 del CDS se esfuma? De hecho, hay diferentes "medidas de injusticia", todas ellas razonables, y dependiendo de cuál tomemos es un método u otro (estos dos no son los únicos) el que resulta ser más justo.

Por concretar, podríamos pedir que el método cumpla la siguiente condición de cuota: el número de escaños que le asigna el método debe ser siempre, o bien el redondeo hacia arriba, o bien el redondeo hacia abajo de su cuota (que normalmente es un número con decimales).

Es inmediato observar que el método de los restos mayores cumplirá siempre la condición de cuota: al fin y al cabo, es un método de redondeo.

En nuestro ejemplo de Badajoz con D'Hondt también se satisface la condición de cuota, pero esto no sucede siempre. El lector puede entretenerse (o puede hacer trampa y mirar más abajo) buscando un número de escaños y un reparto de votos con el que, si se usa D'Hondt, un partido obtenga más escaños de los que corresponderían a redondear hacia arriba su cuota.

Esto parece coincidir con la percepción que mucha gente tiene de que "D'Hondt quita escaños a los partidos pequeños para dárselos a los grandes". Pero esa percepción no es correcta. Se puede demostrar usando artimética elemental (ver la demostración aquí) que, con el método D'Hondt, ningún partido obtendrá nunca menos escaños de los que indica la parte entera de su cuota. Es decir, D'Hondt nunca quita diputados enteros.

La ligera ventaja que, efectivamente, puede proporcionar a los partidos grandes viene sólo del reparto de restos decimales, y la falta de proporcionalidad que se aprecia en nuestro Congreso de los Diputados no se debe tanto al método como a la existencia de 52 circunscripciones, de las que 21 reparten 4 escaños o menos, lo que hace muy difícil la proporcionalidad [Enlace https://elpais.com/elpais/2016/06/28/ciencia/1467103893_081173.html].

De hecho, si se presentan, como ha sucedido en abril, 5 partidos (o más en algunos casos) "con pretensiones", en ninguna de esas 21 circunscripciones pueden obtener todos ellos escaño.

Aun así, se podría pensar que el método de los restos mayores es mejor, porque cumple siempre la condición de cuota.

 

Una situación paradójica.

Si volvemos a nuestro ejemplo pacense, parece que la principal queja que podíamos poner al reparto usando los restos mayores es que no discriminaba demasiado bien entre los resultados del PP, el CDS e IU. Una forma de paliar esto sería (olvidemos por un momento la Ley Electoral) aumentar el número de escaños a elegir en Badajoz de 6 a 7. Veamos qué sucedería entonces.

Hay que volver a calcular las cuotas (usando el número de votos que ya tenemos), y la tabla quedaría ahora así:

¡Al subir el número total de escaños de 6 a 7 IU pierde el escaño que tenía! Quizás el método de los restos mayores no sea tan justo después de todo.

En mi Departamento nos gusta llamar a esta sorprendente situación "paradoja de Badajoz", por este ejemplo que descubrió mi colega Eugenio Hernández. Pero en el mundo se conoce como "paradoja de Alabama". [Enlace https://en.wikipedia.org/wiki/Apportionment_paradox#Alabama_paradox]

¿Se produce esta paradoja sólo en situaciones muy particulares? No es fácil dar una estimación precisa para la frecuencia con que aparece (depende de demasiados parámetros), pero sí se pueden hacer simulaciones. Así fue, de hecho, como se descubrió la paradoja la primera vez: simulando distintos tamaños para la Cámara de Representantes de los Estados Unidos y viendo cuántos escaños corresponderían en cada caso a cada Estado.

Nosotros hemos hecho una simulación similar a partir de una de las propuestas para hacer más proporcional el Congreso de los Diputados sin necesidad de modificar la Constitución: aumentar el número de diputados de 350 a 400. Si, manteniendo todos los demás requisitos de la Ley Electoral, vamos variando la cantidad de diputados de uno en uno, resulta que, en esos 50 pasos, la paradoja de Alabama-Badajoz aparecería 5 veces (en dos de ellas Guadalajara perdería un escaño al añadir un diputado; las otras provincias afectadas en algún paso serían Huesca, Lérida y Soria). Parece que no es un fenómeno excepcional.

 

¿Existe un método perfecto de representación proporcional?

Está claro que el método D'Hondt no puede sufrir la "paradoja de Alabama", porque la asignación de un escaño no altera cómo se han distribuido los anteriores. En nuestro ejemplo de Badajoz, sin necesidad de volver a calcular la tabla con la que hemos asignado los seis primeros diputados, un eventual séptimo escaño correspondería al PSOE (aquí aparece un ejemplo de violación de la condición de cuota), el octavo al CDS, etc.

Esta observación se extiende a cualquier método de divisor: los que funcionan como D'Hondt pero utilizando quizás otros números para dividir (por ejemplo, el método de Sainte-Laguë, que algunos partidos han propuesto como una forma de mejorar la proporcionalidad [Enlace: https://elpais.com/politica/2018/02/24/actualidad/1519508199_243071.html] utiliza como divisores sólo los números impares: 1, 3, 5, 7,…). Ninguno de ellos puede sufrir la paradoja de Alabama por la razón que ya hemos indicado: la asignación de un escaño no altera cómo se han distribuido los anteriores. Por desgracia es un teorema, demostrado por Michel Balinski [Enlace https://en.wikipedia.org/wiki/Michel_Balinski] y Peyton Young [Enlace https://en.wikipedia.org/wiki/Peyton_Young]) que ningún método de divisores satisface la condición de cuota [Enlace: https://www.amazon.com/Fair-Representation-Meeting-Ideal-Vote/dp/081570111X].

Quizás debamos concluir que no hay método perfecto de distribución proporcional de escaños y que, aunque las matemáticas nos ayudan a entender las ventajas e inconvenientes de cada uno de ellos, optar por uno u otro (con sus diversas componentes de definición de circunscripciones, reparto de escaños entre ellas y posterior asignación a partidos) debe basarse también en consideraciones políticas. En el buen sentido de la palabra Política, que lo tiene.

 

Autor: Adolfo Quirós Gracián. Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid. Es director de La Gaceta de la RSME (Enlace:http://gaceta.rsme.es/). En 2018 fue galardonado con una de las medallas concedidas por la Real Sociedad Matemática Española, que "expresan público reconocimiento de la comunidad a personas destacadas por sus relevantes, excepcionales y continuas aportaciones en cualquier ámbito del quehacer matemático".

(Este artículo fue publicado orginalmente en The Conversation el 22/04/2019. Enlace: https://theconversation.com/victor-dhondt-y-badajoz-una-pincelada-de-matematica-electoral-115206)

Cláusula de Divulgación

Adolfo Quirós Gracián no recibe salario, ni ejerce labores de consultoría, ni posee acciones, ni recibe financiación de ninguna compañía u organización que pueda obtener beneficio de este artículo, y ha declarado carecer de vínculos relevantes más allá del cargo académico citado.

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