El Zurriburri

(lunes 14 de marzo de 2022)

Cuando nos planteamos la pregunta de ¿para qué sirven las matemáticas?, surgen gran variedad de respuestas. Unas personas sienten, nada más escuchar la palabra matemáticas, una especie de escalofrío que les recorre el cuerpo entero al cuestionarse ¿por qué tuve que estudiar eso tan horrible que no me resultó útil en absoluto? Por el contrario, y afortunadamente, otras personas ven su utilidad y podrían responder a la pregunta inicial con frases del tipo: si no sabes matemáticas se te caerá el puente, o ¿no te das cuenta?, las matemáticas están detrás de todo. Ellas son el lenguaje abstracto de la ciencia y nos ayudan a comprender mejor el mundo en el que vivimos. Además, también pueden servir para entretenernos como veremos en los siguientes ejemplos.

Es un rompecabezas matemático cuyo objetivo consiste en rellenar una cuadrícula de 9x9 casillas divididas en regiones de 3x3  con las cifras del 1 al 9, partiendo de algunos números ya dispuestos en alguna de las casillas, de manera que no se repitan los números por fila, columna o región (Figura 1).

Figura 1. Tablero del sudoku.

Una de las versiones más aceptadas sobre el nacimiento del Sudoku sostiene que fue el genial matemático suizo del S. XVIII Leonhard Euler (Basilea, 1707- San Petersburgo, 1783) la persona que creó este juego, de manera indirecta, al establecer las pautas para el cálculo de probabilidades con el objetivo de representar una serie de números sin repetir.

Euler llegó a describir los “cuadrados latinos”, es decir, matrices de nxn elementos en los que cada casilla está ocupado por uno de los n símbolos, de manera que aparece exactamente una vez en cada columna y en cada fila.

Figura 2. Ejemplos de cuadrados latinos.

Actualmente está probado que la solución de un sudoku es siempre un cuadrado latino, aunque el recíproco en general no es cierto, ya que en el sudoku se establece la restricción añadida de que no se puede repetir un mismo número en una región.

Aunque alguno de estos rompecabezas numéricos  aparecieron publicados en los periódicos de Francia en 1895, el sudoku aparece por primera vez en Japón en 1984. El nombre sudoku es una abreviatura de la expresión japonesa “Suji wa dokushin ni kagiru” que significa “los números deben estar solos”. Fue un juez de Nueva Zelanda llamado Wayne Gould el que introdujo este rompecabezas en el mundo occidental. Al parecer , estaba de vacaciones en Tokio en marzo de 1997 cuando los descubrió en una librería. Se convirtió en un devoto entusiasta de estos rompecabezas y se pasó seis años desarrollando un programa de computadora que creara sudokus, lo que hizo que éstos apareciesen en periódicos de toda Europa y América. Gould empezó a vender sus sudokus en 2005, provocando gran popularidad en todo el mundo.

                El misterio del número 6174.

 Este número, 6174, posee una interesante propiedad que le ha catalogado como uno de los números más misteriosos del mundo. Para verla, vamos a elegir un número cualquiera de cuatro cifras (sin que sean todas iguales). Como ejemplo, escogeremos el 1425, aunque animo al lector a elegir uno diferente. Seguimos ahora los siguientes pasos:

    1. Formamos el mayor número con esas cifras: 5421.

     2. Formamos el menor número con esas cifras: 1245.

     3. Restamos el menor del mayor: 5421 - 1245 = 4176.

(Si obtenemos un número menor de 4 cifras lo completamos con ceros. Por ejemplo, si hubiesemos obtenido 894, escribiríamos 0894.)

      4. A partir del 4176, volvemos a repetir el proceso anterior:

          4.1 Escribimos el número mayor con esas cifras: 7641.

          4.2 Escribimos el número menor con esas cifras: 1467.

          4.3 Volvemos a restar el  menor número del mayor: 7641 - 1467 = 6174.

¡Hemos llegado al número 6174! Si todavía no lo has conseguido vuelve a repetir el proceso. Yutaka Nishiyama, de la Universidad de Economía de Osaka, Japón, cuenta en la revista +plus que usó una computadora para ver si había un número limitado de pasos para llegar a 6174. Tras verificarlo concluyó que el número máximo de pasos es 7. Es decir, si no llegas a ese número después de siete veces de repetir el proceso, te has equivocado en tus cálculos y debes volver a a intentarlo.

 Fijaos que si elegimos el número 6174 de partida tendríamos:

          Escribimos el número mayor con esas cifras: 7641.

          Escribimos el número menor con esas cifras: 1467.

          Volvemos a restar el  menor número del mayor: 7641 - 1467 = 6174.

¡Parece que es imposible no llegar al 6174!

El proceso de restar el número mayor obtenido con las cuatro cifras menos el número menor se conoce como la operación de Kaprekar, siendo 6174 la constante de Kaprekar, nombre recibido en honor a su descubridor en 1949: el matemático indio Dattatreya Ramachandra Kaprekar. Conocido por sus estudios en las matemáticas recreativas, además de descubrir la constante que lleva su nombre describió varios tipos de números: los números de Kaprekar, que veremos más adelante, Harshad y los auto-números.

Figura 4. Dattatreya Ramachandra Kaprekar. (Dahanu, 1905- Deolali,1986).

¿Hay otros números tan mágicos como el 6174? La respuesta es afirmativa, por ejemplo, si consideramos un número de tres cifras en lugar de cuatro y repetimos el proceso, llegaremos siempre al 495.

Lo comprobamos con el siguiente ejemplo: 366.

• Escribimos el número mayor con esas cifras: 663.
• Escribimos el número menor con esas cifras: 366.
• Restamos ambos números: 663 - 366 = 297.

A partir del 297 volvemos a repetir el proceso anterior:

• Escribimos el número mayor con esas cifras: 972.
• Escribimos el número menor con esas cifras: 279
• Restamos ambos números: 972 - 279 = 693.

A partir del 693 volvemos a repetir el proceso anterior:

• Escribimos el número mayor con esas cifras: 963.
• Escribimos el número menor con esas cifras: 369.
• Restamos ambos números: 963 - 369 = 594.

A partir del 594 volvemos a repetir el proceso anterior:

• Escribimos el número mayor con esas cifras: 954.
• Escribimos el número menor con esas cifras: 459
• Restamos ambos números: 954 - 459 = 495.

¡Y llegamos, por fin, a nuestro número, 495!

Se ha comprobado con números de 2 a 10 dígitos que esta propiedad sólo ocurre cuando se empieza con números de cuatro o tres dígitos, llegando al 6174 en el primer caso y al 495 en el segundo.

Los números de Kaprekar

Kaprekar, no sólo descubrió la constante que lleva su nombre, como ya habíamos mencionado. Para terminar el artículo describiremos la propiedad interesante que cumplen los números de Kaprekar:

“Si calculamos el cuadrado de un número de Kaprekar, el resultado puede ser separado en dos números cuya suma da el número de Kaprekar original.”

Para aclararlo, mejor un ejemplo.

Consideremos el número de Kaprekar 297. Su cuadrado es: 297 x 297 = 88209. Podemos separar 88209 en los dos números, 88 y 209, ¡cuya suma da como resultado 88 + 209 = 297!

Otros números de Kaprekar que puedes probar son: 9, 45, 55, 99, 703, 17.344, 538.461…

Puedes probarlo, recordando que cuando dividas el número cuyas partes vas a sumar, dejes la parte más larga a la derecha, como en el ejemplo que hemos visto antes:  88 (dos cifras) + 209 (tres cifras).

Para matemáticos, o apasionados de esta ciencia, terminamos citando los dos siguientes resultados llamativos, (que quizá puedan ser tratados en otro zurriburri matemático):

1. En el sitema binario, todos los números perfectos son números de Kaprekar.

2. En cualquier base existen infinitos números de Kaprekar, en particular, dada una base b, todos los números de la forma bⁿ-1 son números de Kaprekar.

Referencias.

Autor: Miguel Gras Gigosos, profesor de Matemáticas. Además tiene el Título Profesional de Música por la especialidad de piano.

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