El Zurriburri

(jueves 8 de abril de 2021) 

Como dice Eduardo Saenz de Cabezón en su canal de Youtube Derivando, un teorema es para siempre. Pero siempre, siempre... ¡siempre!; hoy, ayer, mañana y dentro de un millón de años; aquí, en Marte y en otra galaxia.

Pero... ¿qué es eso de un "teorema"? Pues se trata de una idea matemática (que llamamos hipótesis) que se ha probado. Posiblemente el ejemplo más famoso sea el teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Ilustración 1. Pitágoras y su teorema. Fuente: elaboración propia.

La clave aquí es la palabra probar. Hasta que la hipótesis, la afirmación original, no se haya probado no tenemos un señor teorema sino una mera conjetura, algo que podría ser verdad... o no.

¿Y cómo se prueban los teoremas? Pues usando la lógica y otros teoremas, y así sucesivamente, lo que permite construir un castillo de teoremas, unos encima de otros, que conocemos con el nombre de matemáticas.

Veamos un ejemplo de cómo se prueba un teorema. Mi hipótesis es la siguiente: yo creo que si un número entero es par, entonces su cuadrado es también par. A ver… 2 es par y su cuadrado que es 4 también lo es; vamos bien. Probemos con otro número par, por ejemplo 16, cuyo cuadrado es 16×16 = 256 que acaba en seis, luego ¡también es par!

Parece evidente que se cumplirá para todos los números pares pero ¡cuidado! Si no se prueba no podemos estar seguros del todo: de momento no es más que una conjetura, la conjetura del Zurriburri, que vamos a tratar de convertir en un teorema.

Veamos. Si nuestro número (que representaremos con la letra m) es par, entonces podemos escribirlo como otro número entero (digamos n) multiplicado por dos, m = 2n. Entonces, nuestro número al cuadrado será m² = (2n)² = 4n², que se puede expresar como 2(2n²), que como es algo multiplicado por dos sabemos sin ninguna duda que también es par, y por lo tanto el punto de partida m² es también par, que es lo que queríamos demostrar. Q.E.D.

(Las demostraciones matemáticas terminan con la locución latina Q.E.D, quod erat demonstrandum, "lo que se quería demostrar").

Pues ya tenemos un teorema, el teorema del Zurriburri.

A veces los teoremas se pueden probar de distintas formas. En 1927 (¡ya ha llovido!) el matemático estadounidense Elisha Scott Loomis recogió más de 300 pruebas diferentes del teorema de Pitágoras en su libro The Pythagorean Proposition. Y desde luego es posible que existan muchas más.

Algunas de esas pruebas son geométricas o visuales, lo que las hace especialmente “satisfactorias” (si buscáis el hashtag #PruebaVisual en mi cuenta de Twitter @ApuntesCiencia encontrareis un buen montón de ellas).

Vamos a probar el teorema de Pitágoras de forma visual. Partiendo del dibujo de arriba construimos cuadrados sobre los lados del triángulo, así:

Ilustración 2. Cuadrados sobre los lados de un triángulo rectángulo. Fuente: elaboración propia.

Como los lados del triángulo miden a, b y c, los cuadrados así construidos tendrán áreas a², b² y c², respectivamente. Se trata ahora de probar que a²+b² es igual a c², es decir, que la suma de las áreas de los cuadrados rojo y verde es igual a la del cuadrado azul.

Para ello vamos a añadir otros tres triángulos idénticos al original, de esta forma:

Ilustración 3. Más cuadrados y triángulos. Fuente: elaboración propia.

Ahora quitamos el cuadrado azul…

Ilustración 4. Fuera el cuadrado azul. Fuente: elaboración propia.

… reordenamos los dos triángulos naranjas de arriba...

Ilustración 5. Reordenando los triángulos naranja. Fuente: elaboración propia.

... y vemos como en el hueco que queda ¡caben exactamente los cuadrados rojo y verde!

 Ilustración 6. Aparecen los cuadrados rojo y verde. Fuente: elaboración propia.

Es decir, el área del cuadrado azul en el dibujo 3 es igual a la suma de las áreas de los triángulos rojo y verde en el dibujo 6. Q.E.D.

Nota: el dibujo 6 demuestra de paso la expresión del cuadrado de un binomio, (a+b)² = a²+b²+2ab, ¿ves cómo?

Bueno, pues después de esto os voy a contar algunos teoremas más, quizás menos conocidos que el de Pitágoras pero que a mí me molan.

Principio del palomar

El teorema o principio del palomar dice que si tienes que meter a unas cuantas palomas en unos palomares, pero tienes más palomas que palomares, entonces hagas lo que hagas al menos un palomar tendrá más de una paloma.

Ilustración 7. Hay diez palomas y nueve palomares: te pongas como te pongas al menos dos palomas tienen que compartir palomar. Fuente: Wikimedia.

Esto que parece una perogrullada tiene algunas implicaciones curiosas. Fíjate.

• No es posible hacer una frase de 28 palabras en español donde cada palabra empiece por una letra distinta.

Tiene sentido: sólo hay 27 letras en español, así que no da para 28 palabras distintas.

• En un concierto con 800 personas es seguro que al menos dos tienen la misma inicial de su primer nombre y, además, la misma inicial de su primer apellido.

A mí esto no me parece ya tan obvio. Veamos. Hay 27 iniciales de nombre y 27 iniciales de apellido, o un total de 27² = 729 posibles combinaciones; como hay más palomas (800) que palomares (729) el teorema del palomar garantiza que al menos dos palomas (dos personas del público) están en el mismo palomar (comparten iniciales de nombre y apellido).

• En la Comunidad de Madrid hay al menos dos niños (menores de 15 años) con el mismo número de pelos en la cabeza.

¡Qué me estás contando? Principio del palomar al rescate: una cabeza humana tiene unos 90.000-150.000 pelos (menos si eres pelirrojo, más si eres rubio), pero en la Comunidad de Madrid hay algo más de un millón de niños menores de 15 años, así que todos los niños no pueden tener distinto número de pelos.

Teorema del sándwich de jamón

El teorema del sándwich de jamón establece que si tenemos un sándwich con una única rebanada de jamón (si, un poco triste, pero sigue conmigo) entonces es posible cortarlo exactamente por la mitad con un solo corte.

¿No te ha sorprendido? Pues debería hacerlo cuando te diga que el sándwich puede estar tan mal montado como quieras: con el jamón doblado, con los panes desalineados, ¡incluso has podido pegar un bocado a un pan antes de ponerlo en el sándwich! Sea como sea siempre es posible cortarlo para compartirlo con un amigo de tal forma que a cada uno os toque exactamente la mitad de cada pan y la mitad de la paupérrima loncha de jamón. Bastante loco, ¿no te parece?

Ilustración 8. Por muy feo que sea un sándwich de jamón, siempre es posible cortarlo por la mitad. Fuente: Robert Maldonado.

Aunque formulado de esa forma tan simpática con un sándwich maltrecho, este teorema tiene importantes aplicaciones en geometría computacional. Por ejemplo, permite asegurar que dada una distribución de dos tipos de objetos en el plano (en dos dimensiones), siempre es posible encontrar una línea que los separe en dos grupos, cada una con la mitad de los objetos. En este ejemplo tenemos 8 círculos rojos y 7 azules, y la línea negra punteada deja a cada lado 4 rojos y 3.5 azules.

 

Ilustración 9. Cualquier conjunto de dos tipos de objetos en el plano puede ser dividido por una recta en dos regiones que tengan la mitad de cada tipo de objetos. Fuente: Elaboración propia.

Teorema de los cuatro colores

Coge un mapa cualquiera que tenga países o regiones y sus fronteras (lo que se llama un mapa político). Puede ser de verdad (el de Europa), de mentira (el de la Tierra Media de Tolkien) o te lo puedes inventar ahora mismo, da igual. ¿Cuántos colores crees que necesitas para pintar cada región del mapa de tal forma que no haya dos regiones adyacentes con el mismo color (sí se pueden tocar por las esquinas)?

Vale, el nombre del teorema hace bastante spoiler: sí, son cuatro... ¡Siempre! ¿No es sorprendente?

Ilustración 10. Cualquier “mapa” puede ser coloreado con tan sólo cuatro colores. Fuente: Wikimedia.

Teorema(s) del punto fijo

Si lo anterior no te ha hecho explotar la cabeza, prepárate.

El teorema del punto fijo (o en realidad teoremas, porque son varios relacionados) dice que si tienes dos hojas de papel iguales, una de ellas la extiendes sobre una mesa, arrugas la otra como te dé la gana, y la pones encima de la primera sin que se salga por los bordes, entonces hay al menos un punto de la hoja arrugada que cae exactamente encima del punto equivalente de la otra hoja.

Ilustración 11. Al menos un punto de la hoja arrugada cae encima del punto equivalente de la hoja estirada. Fuente: Dennis Simanaitis.

Algunas consecuencias del teorema del punto fijo:

• Si extiendes un mapa de España en cualquier lugar de España, al menos un sitio del mapa está exactamente en su localización real.
• En tres dimensiones: si tienes una taza de café y la remueves como quieras, en cualquier momento al menos un punto (un átomo, si quieres) del café está donde estaba al principio.
• El teorema de la bola peluda (también conocido como teorema del erizo) es de la colección de los teoremas del punto fijo y dice que no es posible peinar una bola con pelo sin que queden remolinos. Una aplicación más práctica es que siempre hay un punto sobre la superficie de la Tierra en donde no sopla nada de viento rodeado por vientos circulares como un huracán o ciclón tropical.

Epílogo

A menudo las matemáticas se asocian a aburridas pizarras repletas de letras, símbolos y algún que otro número, torres de Babel inexpugnables, diríase cajas de puzles que se hubiesen desparramado por la mesa. Parece por tanto que la utilidad de las matemáticas—más allá de las cuatro reglas—queda relegada a los matemáticos, poseedores de la piedra de Rosetta del galimatías.

Nada más lejos de la realidad: las matemáticas están presentes en (casi) todo lo que hacemos a diario.

Las matemáticas son los pilares sobre los que se construye el ordenador o el móvil con el que estás leyendo esto, y de hecho de toda la tecnología moderna, desde Internet hasta el GPS. Son la columna vertebral de la música y la arquitectura, de las redes sociales y de los videojuegos. Nos permiten modelar y predecir el tiempo, la economía y las pandemias. Son el lenguaje de la ciencia.

Pero es que además ¡son tremendamente divertidas! Son como un juego sin fin, una aventura de exploración, un desafío constante, una sorpresa tras cada puerta. Son la varita de Harry Potter, la bandolera de Indiana Jones entrando al templo maldito, las cajas de herramientas de Mark Zuckerberg y Elon Musk. Clara Grima lo tiene claro: El mundo lo dominan los que saben matemáticas.

Y es que las matemáticas y sus teoremas molan mucho.

Autor: Juan Carlos Gil. Se doctoró en química-física con una Tesis sobre la simulación del ADN mientras trabajaba en una empresa de ingeniería modelando accidentes en plantas químicas, tras lo cual pasó al sector espacial y en eso lleva 25 años. Pero su pasión es la ciencia y su divulgación: desde Twitter con la cuenta Apuntes de ciencia, escribiendo cositas de vez en cuando para la red Naukas, dando charlas con la asociación Ciencia con Tres enCantos, haciendo radio en el podcast Enciérrate con la ciencia y colaborando con la asociación Iberozoa para la conservación y divulgación de la fauna ibérica.

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