(viernes 8 de noviembre de 2019)

 Introducción.

 La música se nutre de los sonidos, los cuales pueden producirse de manera diferente ya sea por medio “natural” de la voz humana o bien usando elementos “artificiales” que llamamos instrumentos. Podríamos decir que golpear una cuerda con un martillo o el canto de un ave no son por sí solos fenómenos musicales, pero podrían convertirse en música si el estado anímico del oyente así lo decide.

Figura 1. Monocordio.

Las ondas armónicas.

Si el extremo de una cuerda lo desplazamos hacia arriba y abajo, se produce una onda sinusoidal que se propaga por la cuerda y que se denomina onda armónica. (Figura 2). Existe una relación sencilla entre la frecuencia f , la longitud de onda λ (distancia entre dos máximos) y la velocidad v de la onda.

Figura 2. Onda armónica en un cierto instante de tiempo. A es la amplitud y λ, la longitud de onda.

 

Dado que durante un período

                                         $T=\frac{1}{f}$

 

la onda se mueve una distancia igual a una longitud de onda λ, tenemos que

                                        $v=\frac{\lambda }{T}=f\lambda \left(1\right)$

La frecuencia del sonido producido por una cuerda es función de su longitud L, así como de las características de dicha cuerda, tales como la tensión a la que está sometida y la masa por unidad de longitud. Esas características determinan la velocidad de propagación de la onda en la cuerda. Este hecho fue demostrado por Euler (1707-1783) y D´Alambert (1717-1783), quienes establecieron la teoría matemática que rige la vibración de las cuerdas. Así la velocidad de propagación depende únicamente de la tensión F a la que está sometida y de la masa por unidad de longitud μ a través de la expresión:

                                         $v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$

Sustituyendo en (1) tenemos que

                                         $f\lambda =\sqrt{\frac{F}{\mu }}$ de donde $F=\frac{1}{\lambda }\sqrt{\frac{F}{\mu }} \left(2\right)$

La masa por unidad de longitud μ=M/L es igual a la densidad de la cuerda por la sección de la misma

                                           $\mu =\pi r^{2}d$

y sustituyendo esta expresión en (2) podemos expresar la frecuencia como

                                           $f=\frac{1}{\lambda }\sqrt{\frac{F}{\pi r^{2}d}} \left(3\right)$

Vibración de una cuerda fija por ambos extremos: frecuencia del sonido producido.

Cuando tenemos una cuerda fija por los dos extremos y se realiza un pequeño desplazamiento en dirección perpendicular a ella, como por ejemplo en el monocordio o al presionar una cuerda de un piano con los macillos, esto generará que se produzcan reflexiones en ambos extremos, es decir, existen ondas moviéndose en los dos sentidos que se combinan. Para una cuerda dada existen ciertas frecuencias para los cuales la superposición de las ondas producidas da un esquema vibratorio estacionario que denominamos onda estacionaria.

Las frecuencias que producen estos esquemas se denominan frecuencias de resonancia, siendo la más baja la frecuencia fundamental, definida por dos nodos (puntos en reposo) en los extremos y un vientre (punto de amplitud de vibración máxima) en el centro. Las siguientes frecuencias de resonancia pueden observarse en la Figura 3. Podemos encontrar una relación entre la longitud de la cuerda L y la longitud de onda λ en función del armónico.

                                                                   

Figura 3. Las 5 primeras frecuencias de resonancia en una cuerda fija por ambos extremos. Los puntos marcados con A son vientres y los señalados con N son nodos.

Si llamamos n al número de armónico y λ_n a las longitudes de onda producidas en los armónicos 1, 2, 3,….n tenemos que:

                                                                          $n=1\to L=\frac{{\lambda }_1}{2}$

                                                                          $n=2\to L=\frac{2{\lambda }_2}{2}={\lambda }_2$

                                                                          $n=3\to L=\frac{3{\lambda }_3}{2}$

Para el armónico n podemos deducir entonces que

                                                                      $L=\frac{n{\lambda }_n}{2} \left(4\right)$

Ahora podemos hallar la expresión de la frecuencia de resonancia de una onda estacionaria, recordando que habíamos visto en el apartado anterior que para una cuerda con longitud de onda λ

                                                                       $f=\frac{1}{\lambda }\sqrt{\frac{F}{\pi r^{2}d}}$

Dado que la frecuencia y la longitud de onda depende del armónico n, podemos escribir la expresión de las frecuencias de resonancia como

                                                             $f_n=\frac{1}{{\lambda }_n}\sqrt{\frac{F}{\pi r^{2}d}} con n=1, 2, 3, ... \left(5\right)$

Si despejamos λ_n en la expresión (4) tenemos que

                                                               ${\lambda }_n=\frac{2L}{n}$

por lo que sustituyendo en (5) nos queda

                                                  $f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{F}{\pi r^{2}d}} con n=1, 2, 3, ... \left(6\right)$

De esta fórmula se deducen las Leyes de Mersenne o leyes que rigen la vibración de las cuerdas fijas por dos extremos como las del monocordio o el piano de la Figura 4.

                                                    

Figura 4. Piano de cola clásico, fabricado por Steinway. Las cuerdas vibran al ser golpeadas por los macillos. Las cuerdas más largas vibran con frecuencias menores que las más cortas. En el sistema temperado (ver siguiente sección) las frecuencias del piano van desde 27.50 Hz de la más grave, correspondiente al La₀, hasta 4186.01 Hz de la más aguda, correspondiente a la nota Do₈.

                                                                           

Figura 5. Marin Mersenne (Oizé, 8 de septiembre de 1588 - París, 1 de septiembre de 1648) fue sacerdote y filósofo francés que estudió diversos campos de la teología, las matemáticas y la música.

 

El sistema temperado: en busca del valor del semitono.

El llamado Temperamento Igual usado normalmente en los pianos actuales fue sistematizado sobre otros métodos de afinación en 1482 por Bartolomé Ramos de Pareja, teórico musical español que enseñó música en la Universidad de Salamanca. El sistema tardó en imponerse debido a la dificultad de establecerlo, pero fue consagrado por Johann Sebastian Bach (1685-1750) en su obra El Clave Bien Temperado (1722), obra que contiene todas las tonalidades mayores y menores.

El sistema se basa en dividir la sucesión de una octava en 12 partes iguales o semitonos de manera que se produzca enarmonía. (Es decir que un Do# sonará igual que un Reb) y respete la consonancia de la octava. (Figura 6)

                                   

Figura 6. Escala cromática a dos voces con algunas enarmonías (ejemplo La#=Sib). Entre el primer La4 y el siguiente La5 tenemos 12 semitonos.

Si la primera nota se corresponde con el La₄ de f₄= 440Hz del piano, el correspondiente a la siguiente octava La₅ tendrá el doble de frecuencia, es decir f₅= 2f₄= 880Hz. Es de observar que para el siguiente La₆ la frecuencia será el doble del La₅, es decir, 1760 Hz. En Matemáticas este tipo de series no lineales, sino con una proporción constante (en este caso de 2), se llaman progresiones geométricas.

                    

Observamos que

                                                                                 $f_n=2^{n-4} f_4, n\in N$ (7)

Usando esta fórmula podremos calcular, por ejemplo, la frecuencia del La0 que corresponde con la nota más grave del piano. Así,

                                                             $L{a}_0\to n=0$ $f_0=2^{0-4} f_4=2^{-4} f_4=\frac{1}{16} 440 Hz=27.5 Hz$

Busquemos ahora el valor del semitono, que denotaremos por la letra r. Si nos fijamos en la Figura 5 entre el La4 y el La5 (y lo mismo ocurre para cualquier otra octava) tenemos 12 semitonos.

Si numeramos la sucesión empezando con el primer término

                                                                        $a_1=L{a}_4=440 HZ$

entonces el último término será

                                                                       $a_{13}=L{a}_5=880 HZ$

y, para hallar las frecuencias de las notas intermedias, tendremos que multiplicar por el valor del semitono r. Así:

                                                                       $a_1=L{a}_4$

                                                                       $a_2=La\#=a_1 r=L{a}_4 r$

                                                                       $a_3=Si=a_2 r=L{a}_4 r^2$

                                                                        ...........................

                                                                       $a_{13}=L{a}_5=a_1 r^{13-1}=L{a}_4 r^{12}$   (8)

Usando ahora la expresión general de una progresión geométrica

                                                                        $a_n=a_1 r^{n-1}$

siendo r la razón de la progresión, en nuestro caso el valor buscado del semitono temperado, encontramos, sustituyendo los valores de las frecuencias en la expresión (8)

                                                        $880 Hz=L{a}_5=a_{13}=L{a}_4 r^{12}=440 Hz r^{12}$

de donde

                      $r^{12}=\frac{880 Hz}{440 Hz}=2$

y, por tanto, el valor del semitono es igual a

                                                                           $r=\sqrt[12]{2}\simeq 1.059463$              (9)

Este procedimiento fue llevado a cabo por el físico alemán Erns Florenz Friedrich Chladni (Wittenberg, 1756- Breslavia 1827).

Conocido este valor podemos hallar fácilmente el tono “sumando” dos semitonos.

El valor del tono t será igual a dos semitonos, es decir

                                                                      $t=r^2={\left(\sqrt[12]{2}\right)}^2=\sqrt[6]{2}\simeq 1.122462$

Con este resultado podemos finalizar comprobando que la nota más aguda del piano, correspondiente al Do8, es de 4186,01Hz, tal como se indica en la Figura 4. Para ello, usamos la fórmula (7) y calculamos la frecuencia del La más próximo, es decir, La7:

                                                                    $L{a}_7\to f_7=2^3 f_4=2^3 440 Hz= 3520 Hz$

Ahora se puede observar que para pasar de La7 a Do8 tenemos un intervalo de tercera menor, con un tono y un semitono. Por tanto, usando los resultados anteriores, tendremos que:

$D{o}_8=t·r·L{a}_7={\left(\sqrt[12]{2}\right)}^2·\sqrt[12]{2}·L{a}_7={\left(\sqrt[12]{2}\right)}^3·L{a}_7=\sqrt[4]{2}·3520 Hz\simeq 4186.01 Hz$

De este modo queda comprobado el valor dado al pie de la Figura 4 y podemos hallar la frecuencia de cualquier nota del piano conocida la frecuencia del La4 = 440 Hz. Esto se conoce como operaciones con intervalos.

 

Conclusiones:

• Desde la antigüedad es conocida la relación de la Música con las Matemáticas.
• La frecuencia del sonido producido por una cuerda depende de las características físicas de ésta: su longitud L, la tensión a la que está sometida, y su masa por unidad de longitud.
• Las Leyes de Mersenne rigen la vibración de las cuerdas fijas por dos extremos como las del monocordio o el piano clásico. Se deducen a partir del estudio físico de las frecuencias de resonancia de las ondas estacionarias.
• El temperamento igual tardó en instaurarse pero Johann Sebastian Bach lo consagra en su obra El clave bien temperado donde se exponen obras en las diferentes tonalidades.
• En el temperamento igual la escala cromática es una progresión geométrica de razón $\sqrt[12]{2}$, de forma que para pasar de un semitono a otro hay que multiplicar el valor de la frecuencia de esa nota por este valor.
• Hemos realizado operaciones con intervalos, basándonos en el resultado anterior, para demostrar que las notas de un piano clásico abarcan desde el La0 de 27,50 Hz hasta el Do8 de 4186,01 Hz.

 Referencias bibliográficas.

Autor: Miguel Gras Gigosos, profesor de Matemáticas del I.E.S. Jorge Manrique. Además tiene el Título Profesional de Música por la especialidad de piano.

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